En esta sección lo habitual es plantear el enunciado de un problema ‘sencillo, lógico y de entretenimiento’ y a continuación reflejar la solución del anterior publicado. Por su mayor complejidad, solo ha habido dos excepciones en las que se decidió incluir el planteamiento y la solución en un mismo post: “El camino más corto entre la araña y la mosca” y “El cocodrilo y la cebra”. En esta ocasión traemos un problema que ha generado muchas discusiones en algunos foros matemáticos: desde aquellos que ofrecen una respuesta sencilla hasta los que recurren a ‘fórmulas’ complicadas. La dificultad se presenta a la hora de comparar las distintas respuestas, en apariencia correctas, y no saber por cual optar.
Problema:
Un día empieza a nevar regularmente, es decir cae siempre la misma cantidad de nieve por unidad de tiempo. A las doce sale una máquina quitanieves que en la primera hora recorre una cierta distancia y en la segunda solo la mitad.
¿A que hora empezó a nevar?
Solución:
En primer lugar reflejaremos la solución aportada por un compañero de la UL de Tarragona en dos variantes: una que denomina ‘por la cuenta de la vieja’, que solo precisa de nociones elementales de geometría, y la otra, ‘más compleja’, basada en el cálculo de integrales.
En una de las condiciones del enunciado se señala que… ‘nieva de forma regular’. Por tanto la altura (y) que va alcanzando la nieve en el trascurso del tiempo (t) se puede representar por una recta y=kt, cuya pendiente (k) será una constante equivalente a la cantidad de nieve ‘regular’ que cae por unidad de tiempo (ver figura de abajo). También se indica que la máquina quitanieves sale a las 12 y que durante la segunda hora de su recorrido avanza solo la mitad que en la primera. Además, está claro que el volumen que extraerá la máquina en su avance por unidad de tiempo siempre será el mismo.
Si llamamos t al tiempo transcurrido desde que comenzó a nevar hasta el momento en que arranca la máquina (12 horas) y t+1 y t+2 al cabo de 1 y 2 horas de su recorrido, teniendo en cuenta que la nieve caída en el tiempo es proporcional al área de la sección por un plano vertical (trapecio) de la figura y que la máquina avanza en la segunda hora la mitad que en la primera (o lo que es lo mismo: el área del trapecio B es el doble que la del trapecio A), podemos realizar el siguiente planteamiento:
Área trapecio A= ((kt + k(t + 1))/2 =( kt + kt + k )/2 = k(2t + 1)/2
Área del trapecio B= ((k(t + 1) + k(t + 2))/2 = ((kt + k + kt + 2k))/2= k( 2t + 3)/2
Como el trapecio B es el doble del trapecio A, resulta:
2k(2t + 1)/2 = k (2t + 3)/2
2t + 1 = ( 2t + 3)/2
Es decir:
t = ½ hora
Por tanto cuando arrancó la máquina quitanieves ya llevaba media hora nevando. Y como había salido a las 12 quiere decir que a las 11 y media comenzó a nevar. Aunque no se corresponda exactamente con ‘la cuenta de la vieja’, lo cierto es que se trata de un planteamiento bastante sencillo que se basa en un tema de geometría simple y una sencilla ecuación.
A continuación reflejamos la solución basada en el cálculo integral (ver su desarrollo en la figura de la izquierda) según la segunda variante aportada por nuestro compañero de la UL de Tarragona. Se puede observar que es coincidente con la indicada en la primera variante. Es decir, a las 11 y media comenzó a nevar.
Otra vía distinta para resolver este problema objeto de discusión en diversos foros matemáticos se apoya en la ecuación diferencial que define la velocidad de la máquina. Se puede ver en la siguiente dirección o en esta otra. Aunque no existe gran diferencia con las anteriores, es ligeramente distinta. Esperemos que alguien pueda aclarar cual es la solución correcta para un problema que ha generado fuertes controversias.